TEORIA PROPOSIÇÕES

PROPOSIÇÃO

É uma sentença declarativa, seja ela expressa de forma afirmativa ou negativa, por meio de palavras ou símbolos, na qual podemos atribuir um valor lógico “V” (verdadeiro) ou “F” (falso).

Vejamos alguns exemplos:

v  Maria foi ao cinema.                                                                                    
      v  A lua é quadrada                                                                                                             
v  3 + 5 = 8
v  4 > 6
v  O número 12 não é par.

Não são proposições:

I. As frases interrogativas:

v  Quando será exame?
v  Quantos anos tem Márcia?


II. As frases exclamativas:

v  Vamos logo!!!
v  Que lindo dia!


III. As frases imperativas:

v  Vá logo fazer o trabalho.
v  Lave as mãos antes das refeições.
v  Estude todo o programa do edital.


IV. As frases sem sentido lógico (expressões vagas, paradoxais, ambíguas.

v  Proibido ultrapassar na via.
v  Acho que vai chover.
v  “esta frase é falsa”. (expressão paradoxal) 

V. Frases que indicam desejos, expressões de sentimentos ou opinião. (são frases que não podem ser julgadas como verdadeiras ou falsas)

v  O Palácio Itamaraty em Brasília é uma bela construção do século XX.
v  O barão do Rio Branco foi um diplomata notável.

PRINCÍPIOS DA LÓGICA

A Lógica estudada neste curso é a chamada Lógica Aristotélica (Lógica Formal) e toda a sua estrutura é fundamentada nas seguintes Leis do Pensamento ou princípios:

Princípio da Identidade
•Uma proposição Verdadeira é Verdadeira, e uma proposição Falsa é Falsa.

Princípio do Terceiro Excluído
•Uma proposição ou é verdadeira ou falsa não existindo uma terceira possibilidade.

Princípio da Não-Contradição
•Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente.



CLASSIFICAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES

PROPOSIÇÃO SIMPLES

Contém uma única afirmação.
São geralmente designadas pelas letras minúsculas: “p”; “q”; “r”; “s”; ...,
Por exemplo:

v  p: Carlos é cientista.
v  q: Pitágoras estudou os números irracionais.
v  r: O número 17 é número primo.

v  s: 3 + 4 = 9

Exercício:

Das cinco frases abaixo, qual delas é preposição?.

I. Que belo dia!
II. Um excelente livro de raciocínio lógico.
III. O jogo terminou empatado?
IV. Existe vida em outros planetas do universo.

V. Escreva uma poesia.



SENTENÇAS ABERTAS

Possuem variáveis livres. O valor lógico depende dessa variável.

v  “ X e cantor “
v  “ X + 2 = 5
v  “X e um numero par”


Estas são uma sentenças abertas. O valor lógico depende do que X significa.

v  “ Paris e a capital do pais P “

v  “Ele é cantor”


Vejamos as sentenças:

v  “Se X e um numero par, entao X e um numero Real “.

Não é uma sentença aberta. É uma proposição, pois não preciso atribuir valor à variável x.

v  “ Se ele e gaucho entao ele e brasileiro “.

Não é uma sentença aberta. É uma proposição, pois todo gaucho é brasileiro e não precisamos atribuir significado ao pronome “ele” para atribuir valor verdadeiro ou falso à sentença.

Mas ja apareceram em concursos frases do tipo:

v  “ Se x = 3 entao x + 2 = 5”

A variável “x” não é. Ou seja, x não é uma variável : x E IGUAL A três

v  Se x > 3, então x + 1 > 5


Para julgar verdadeiro ou falso tenho que “atribuir” um valor para x. Não é proposição.


NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES –OPERADOR “NÃO”

A negação de uma proposição “p” é uma outra proposição “~p”  ou ~( p) cujo valor lógico é sempre o contrário do valor lógico de “p”. Exemplo:

v      p: Choveu hoje..
v  ~( p): Não é verdade que choveu hoje
v  ~ p: Não choveu hoje

v     p: Maria é alta
v  ~( p): Não é verdade que Maria é alta
v  ~ p: Maria não é alta

v    p: n é um número ímpar”.
v  ~( p): Não é verdade que n é um número ímpar
v  ~p: n é um número par”.


Temos então que ~( p) ≡ ~p ( são equivalentes pois tem o mesmo valor lógico)

DUPLA NEGAÇÃO

Seja a proposição p: Está chovendo

Vamos negar: ...........................~p: Não está chovendo
Negar novamente: .............  ~(~p): Não é verdade que não está chovendo
Também poderia ser: ............ ~~p: Está chovendo


Podemos concluir que: ~~p ≡ p


p
~p
~~p
V
F
V
F
V
F



      Observação

“Este lápis é verde” contradiz, mas não é a negação de “Este lápis é azul”, porque a negação desta “Este lápis não é azul” não obriga a que a cor do lápis seja verde. Poderia ser de qualquer outra cor, diferente das citadas.
PROPOSIÇÕES COMPOSTAS


Se duas (ou mais) proposições vêm conectadas entre si, formando uma só sentença, estaremos diante de uma proposição composta. Exemplos:


v  João é médico e Pedro é dentista.

v  Maria vai ao cinema ou Paulo vai ao circo.

v  Ou Luís é baiano, ou é paulista.

v  Se chover amanhã de manhã, então não irei à praia.


v  Se e somente se eu ganhar na loteria, então comprarei uma mansão. 

Conectivos Lógicos: são expressões que servem para unir duas ou mais proposições.


Nosso interesse conhecer o valor lógico das proposições compostas.


TABELA - VERDADE

         É uma forma usual de representação das regras da Álgebra Proposicional. Nela, é representada cada proposição (simples ou composta) e todos os seus valores lógicos possíveis.

p
q
V
V
V
F
F
V
F
F


Número de linhas de uma tabela-verdade.

Sendo “n” o número de proposições simples, o número de linha de uma tabela–verdade de uma proposição composta é dada pela expressão 2n.


TABELA VERDADE DAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS

Consideremos as seguintes proposições simples:

Temos que:  p: No natal te darei uma bola.
                     q: No natal te darei uma bicicleta.

1) CONJUNÇÃO ( e ): símbolo ˄

Vamos unir as duas proposições com esse conectivo:

T: No natal te darei uma bola e uma bicicleta.

Representamos como p ˄ q ( p e q )

Vamos estudar o valor lógico dessa proposição composta através da Tabela-Verdade:

p
q
p ˄ q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
 F
F
F









Dadas as proposições simples:
p: Marta é mãe de Beto.
q: Patrícia é mãe de Carlos.

A conjunção “p e q” pode ser escrita como:
p ˄ q: Marta é mãe de Beto e Patricia é mãe de Carlos.

Exercício: Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:

a)    A terra é redonda e o céu é azul
b)    A terra é redonda e a lua é quadrada

c)    2 + 2 = 4 e 3 + 5 = 9

2) DISJUNÇÃO NÃO EXCLUDENTE ( ou ): símbolo ˅

T: No natal te darei uma bola ou uma bicicleta.

p
q
p ˅ q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
 F
F
F

                   


             



Dadas as proposições simples:

p: Marta é mãe de Beto.
q: Patricia é mãe de Carlos.

A conjunção “p ou q” pode ser escrita como:
p ˅  q: Marta é mãe de Beto ou Patrícia é mãe de Carlos.

Exercício: Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:

a)    Manaus é a capital do Amazonas ou Salvador é capital da Bahia.
b)    Curitiba é a capital do Paraná ou Bauru é a capital de São Paulo
c)    Agudos é a capital da França ou Piratininga é a capital da Alemanha.
 3) DISJUNÇÃO EXCLUDENTE ( ou ... ou ... ): símbolo v

T: No natal ou te darei uma bola ou uma bicicleta.

p
q
p v q
V
V
F
V
F
V
F
V
V
 F
F
F








Dadas as proposições simples:

p: Marta é mãe de Beto.
q: Patricia é mãe de Carlos.

A conjunção “ou p ou q” pode ser escrita como:
p v  q: Ou Marta é mãe de Beto ou Patrícia é mãe de Carlos.



Exercício: Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:

a)    Ou o quadrado tem quatro lados ou o triângulo tem três lados.
b)    Ou a lua é redonda ou a terra é quadrada.
c)    Ou Bauru é a capital de Minas gerais ou
 
4) CONDICIONAL ( Se ... então ... ): símbolo →


A: Se eu receber o salário, então viajarei.

p
q
p →q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
 F
F
V








Dadas as proposições simples:

p: Marta é mãe de Beto.
q: Patricia é mãe de Carlos.

A conjunção “Se p então q” pode ser escrita como:
p → q: Se Marta é mãe de Beto então Patrícia é mãe de Carlos.


Exercício: Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:

a)    Se a lua é redonda, então a terra é redonda.
b)    Se a terra é redonda, então a lua é quadrada.
c)    Se a lua é quadrada, então a terra é redonda.
d)    Se a terra é quadrada então a lua é quadrada.


    PROPRIEDADE DA CONDICIONAL: CONDIÇÃO SUFICIENTE E                                                   NECESSÁRIA


Dadas as proposições simples:

p: João é jogador de futebol.
q: João é atleta.

A conjunção “se p então q” pode ser escrita como:
p → q: Se João é jogador de futebol, então ele é atleta.


Basta acontecer p (ser jogador) para acontecer q (ser atleta)

p é condição suficiente para q
                                                                                                                                                                                    
Para ser jogador de futebol (p)  é necessário ser atleta (q)                    


q é condição necessária para p


Exercício: Descrever as proposições abaixo:

a)    Ser honesto é condição suficiente para Eduardo ser elegível.

“Se Eduardo é honesto, então ele é elegível”.

b)    Ser engenheiro é condição necessária para Paulo se inscrever no concurso.

“Se Paulo se inscreveu no concurso, então ele é engenheiro”.

c)    Ser feliz é condição suficiente para Maria cantar e condição necessária para José dançar.

“Se Maria é feliz, então ela canta”.


“Se José dança, então ele é feliz”.

5) BICONDICIONAL ( Se e somente se ... então ... ): símbolo ↔

B: Se e somente se eu receber o salário, então viajarei.


p
q
p ↔q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
 F
F
V







Dadas as proposições simples:

p: Marta é mãe de Beto.
q: Patricia é mãe de Carlos.

A conjunção “Se e somente se p então q” pode ser escrita como:
p ↔ q: Se e somente se Marta é mãe de Beto então Patrícia é mãe de Carlos.


Exercício: Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:

a)    Se e somente se a lua é redonda, então a terra é redonda.
b)    Se e somente se  a terra é quadrada, então a lua é redonda.
Se e somente se a lua é quadrada, então a terra é triangular
PROPRIEDADE DA BICONDICIONAL: CONDIÇÃO SUFICIENTE E NECESSÁRIA

A bicondicional pode ser expressa como duas condicionais:

(p ↔ q) = (p → q) ˄ (q → p)

Podemos trocar a ordem das proposições:

(p ↔ q) = (q ↔ p)

Dadas as proposições:

p: Luiz nasceu em bauru
q: Luiz é bauruense

Podemos escrever:

“Se e somente se Luiz nasceu em Bauru, então ele é bauruense”.


“Se e somente se Luiz é bauruense, então ele nasceu em Bauru”
     p é condição suficiente e necessária para q e q é condição suficiente e               necessária para p.                                                                                                                                                                                                                                                
CONSTRUÇÃO DE TABELAS - VERDADE

Objetivo: Estudar o Valor Lógico das proposições compostas, a partir da variação dos valores lógicos das proposições simples que a compõem.


Exemplos: Construir a tabela-verdade das seguintes proposições compostas:
a)     p ˄~q    
p
q
~q
P˄~q
V
V
F
F
V
F
V
V
F
V
F
F
F
F
V
F









b)    p v (p ˄ q)

p
q
(p ˄ q)
p v (p ˄ q)
V
V
V
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
F
F
F


c)    p v ~(p v q)

p
q
 (p v q)
~(p v q)
p v ~(p v q)
V
V
F
V
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
F
F
V
V


d)    p ˄ (p → q)

p
q
p → q
p ˄ (p → q)
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
F
F
V
V




TAUTOLOGIA

Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições será dita uma Tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições que a compõem.

Ex: Verificar se a proposição (p ˄ q) → (p v q) é uma tautologia:

p
q
p ˄ q
p v q
(p ^ q) → (p v q)
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
F
V








CONTRADIÇÃO

Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições será dita uma contradição se ela for sempre falsa.

Ex: Verificar se a proposição (p « ~q) Ù (p Ù q) é contradição:

p
q
~q
(p « ~q)
(p Ù q)
(p « ~q) Ù (p Ù q)
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
F
V
F
F
F
F
V
F
F
F


QUANDO UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA NÃO É TAUTOLOGIA NEM CONTRADIÇÃO, DAMOS O NOME DE CONTINGÊNCIA.












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